Оперният певец, бас Стефан Еленков е роден на 9 януари 1937 г. във Видин. Баща му е занаятчия-железар. Има двама братя и една сестра. Учи в Началното училище „Любен Каравелов“ и завършва средното си образование във Видинската гимназия. В младежките си години се увлича в спорта и особено по футбола, където сред любимците на видинската публика дълги години са братята му – Бочко и Нонко, но музиката се оказва по-значимата му страст. Първото си висше образование завършва в Минногеоложкия институт – София, където е сред солистите на академичния хор „Г. Димитров“ и започва работа по специалността си, но кандидатства и е приет в Българската държавна консерватория, където завършва второто си висше образование, специалност „Оперно пеене“ в класа на проф. Христо Бръмбаров. Още като студент през 1966 г. е назначен за редовен артист в Софийската народна опера. Същата година дебютира в операта „Риголето“ от Джузепе Верди. През 1969 г. става носител на първа награда на V-то общобългарско състезание за певци и изпълнители, а на VI-я фестивал за млади оперни певци печели лауреатско звание. През 1970 г. е изпратен на специализация в гр. Палермо, Италия при големия музикален педагог Джина Чиня. Участва в Учебния театър на консерваторията, с който пътува в Холандия.
Освен на сцената на Софийската опера, където е артист и изпълнител на ключови роли в спектаклите от 1966 г. до 1997 г. той гастролира в още над 80 града на 22 страни по света и се е качвал като изпълнител на сцените на 108 големи оперни театри в света. Пее в Бальшой театър – Москва, Метрополитен – Ню Йорк, Миланската скала, Виенската Щаатсопера, Театро дел Лисео – Барселона, в СССР, Швейцария, Италия, Германия, Израел, Бразилия, Франция, САЩ, Белгия, Югославия, Испания и др.
В репертоара му са всички големи басови партии – Мефистофел във „Фауст“ на Гуно, Фиеско в „Симоне Буканегра“ на Верди, Хан Кончак в „Княз Игор“ на Бородин, Княз Ховански и Досифей в „Хованщина“ на Мусоргски, Борис Годунов в „Борис Годунов“ от Мусоргски, Зарастро във „Вълшебната флейта“ от Моцарт, Крал Филип и Инквизитора в „Дон Карлос“ на Верди, Мухтар Ага в „Гергана“ на Маестро Атанасов, дядо Слав в „Хан Крум Ювиги“ на Александър Йосифов и много други. За повече от 30 години на оперната сцена е реализирал повече от 150 роли в репертоара си.
Стефан Еленков често е гостувал във Видин с участия в концерти на Видинския симфоничен оркестър, на музикалните тържества „Дунавска пролет“ и „Празници на кантатно-ораториалната музика“, при откриването музикалния сезон в града, както и със солови изпълнения в културни мероприятия и юбилейни тържества.
Многобройни са записите му в студия, радиа и телевизии в България и чужбина. Още приживе Балкантон издава две дългосвирещи плочи, а през 2017 г., по повод на 80-та годишнина от рождението му и 20-та годишнина от смъртта бе издаден и компактдиск с арии и руски песни в негово изпълнение.
Носител е на най-високите държавни отличия и на множество награди от фестивали и конкурси. Носител е на званието „Народен артист“ , на „Златна лира“ на Министерството на културата и на Почетен знак на Съюза на музикалните дейци в България. През 2003 г. посмъртно му е връчено най-високото българско отличие орден „Стара планина“ за изключителния му принос за развитие на българската култура. През 1989 г. му е присъдено званието „Почетен гражданин Видин“, а в родния му град има и улица и кабинет в началното училище, в което е учил – СУ „Любен Каравелов“ на негово име.
Умира на 5 октомври 1997 г. в София, но по изричната му молба е погребан във Видин.