роден на 1 февруари 1879 г. във Видин в бедно семейство. От малък проявява музикалната си дарба, но семейството му няма възможност да му закупи музикален инструмент. На 11 години остава кръгъл сирак. Настанен е в окръжния пансион за бедни ученици и успява да завърши IV клас на Видинската гимназия /1895/. С решение на учителския съвет му е отпусната стипендия от 40 лв., за да продължи образованието си в Силистренското педагогическо училище. След завършването му се завръща във Видин и е назначен за учител в основно училище „Отец Паисий“, където основава първия ученически тригласен хор в България със 160 деца, с който изнася концерти в града. Приет е за студент в Загребската музикална академия през 1899 г. по специалността „Цигулка“ в класа на известния проф. Иван Зайц и преподаватели като В. Новак и А. Щекъл. Дипломира се през 1901 г. със златен медал, завършвайки петгодишния курс на обучение за две години, а на абсолвентското тържество е изпълнена неговата творба „На прощаване“. Дипломата му дава право на редовен учител по музика в цялата Австро-Унгарска империя. Паралелно с музикалните си занимания е посещавал и лекции по философия в Загребския университет. Завръща се в България и е назначен за учител по музика и пеене в Ломското педагогическо училище. През 1907 г. се премества на работа във Варненската девическа гимназия. Във Варна разгръща целия си талант на диригент, музикант и композитор, лектор по музика в училища и читалища, диригент в занаятчийското училище „Трудолюбие“, преподавател в Машинното училище при морския флот, диригент на хора и оркестъра на музикалното дружество „Гусла“, на хор „Морски звуци“, на еврейския хор „Хармония“, на катедралния хор и хора на оперетната дружба. Бил е директор на Варненското музикално училище. Организирал е и водил летни диригентски курсове, опреснителни сбирки за учители по музика и пеене, курсове за подготовка на диригенти на църковни хорове.
Александър Кръстев е един от инициаторите за създаването на Музикалния съюз в България /1903/ и е дългогодишен председател на дружеството му във Варна. Радетел е за откриването на музикалните училища във Варна и София, на Софийската и Варненската общинска опера /1930/. Избран е за председател на Клуба на радиолюбителите във Варна и е първият програмен директор на новооткритото Радио Варна, като е автор и на музиката на неговия химн.
Пише хорови и солови песни и китки за духови оркестри. Издава учебници по пеене и музика. Автор е на около 50 хорови и над 20 песни за глас и пиано, като „Що ми не дохождаш“, „Коня яхам“ и др., на маршовете „ О, Добружански край“ и „Обединение“, на първото Концертино за цигулка и оркестър в българската музика. Автор е на хорови песни по стихове на Яворов, елегии по Христо Ботев, битови и обредни песни – „Лазарки“, „Коледари“, „Хайдути“. Създава увертюрите към оперите „Иванко“ и „Змейова сватба“ и много други. За училищната хорова самодейност написва над 100 детски и училищни песни предимно в „народен дух“, а за детските хорове разработва народни песни. Участва в издаването и редактирането на сп. “Играй и пей“. В него и в други издания публикува статии, в които отстоява становището за народностната основа на новата българска музика и защитава правата на българските музикални дейци.
През 1939 г. по повод на 60-та му годишнина във Видин е организиран голям концерт от негови творби, дирижиран от него самия.
Умира на 17 юли 1945 г. във Варна.