Роден е на 28 юни 1936 г. в с. Арчар. През 1961 г. завършва Художествената академия, специалност “Скулптура” при проф. Иван Фунев. Няколко години е учител по изобразително изкуство във Видинската гимназия, след което се премества в София. Участва в национални, тематични, групови и международни /Москва, Будапеща и др. / изложби от 1964 г. През 90-години на 20-ти век открива една от най-успешните частни художествени галерии в столицата.

Александър Апостолов работи в областта на портрета, фигуралната и монументално-декоративна скулптура. Творбите му са със съвременна и историко-революционна тематика и се отличават с естествената си композиция и изразително движение и не са толкова условно монументални, колкото психологически вълнуващи.

Във Видин са експонирани неговите творби – паметника на Димитър Благоев /1976/, “Лежаща фигура на гола жена” /1966//декоративна пластика в парка/, “Спортисти” /1968//композиция пред спортната зала/ и фигурата на жена във фонтана в Дунавския парк в района на хотел “Анна Кристина”. Паметникът “Септемврийското въстание 1923” в родното му село Арчар също е негово дело. По-известни са скулптурите му “Етюд на стара жена в мрамор”, “Бачо Киро”- бюст от дърво във Велико Търново, “Паметник на априлското въстание”, “Георги Димитров”- паметник в Ташкент, ” Глава на младеж”, “Глава на момиче”, “Работничка”, “Строител” и др. Той е автор и на паметната плоча на своя учител проф. Иван Фунев, експонирана върху къщата, в която е живял.

Във фонда на Художествена галерия “Никола Петров” – Видин се съхраняват творбите му – “Глава на Н.” /теракота, 18/27/33 см., инв.№ 21,  “Глава на баща ми” /патиниран гипс, 37/25/22 см., инв.№ 25, “Права фигура” /гипс, 166/54/25 см., Инв.№ 26, “Фигура” /гипс, 120/40/29 см., инв.№ 30/, “Глава на Хари” /гипс, 35/23/28 см., инв.№31, “Работник” /камък, 72/86/170 см., инв.№47/ и “Георги Димитров” /патиниран гипс, 46/30/36 см., инв.№ 82.

Творби на Александър Апостолов са във фондовете на Национална художествена галерия-София, окръжни и градски художествени галерии, както и публични пространства в много населени места в страната. Участвал е в множество изложби у нас и в Москва и Будапеща.

Александър Апостолов е носител  на държавни отличия и награди, както и на наградата “Иван Лазаров” за монументална скулптура, връчена му през 1976 г. от Съюза на българските художници.

Умира през 2016 г. в София.