Ас. д-р Антон Евгениев Живков е роден на 25 май 1963 г. в София, но родовият му корен е от Видин. Син е на гл. ас. д-р Евгени Пеков Живков /виж отделна статия/ и брат на гл. ас. д-р Евгени Евгениев Живков /виж отделна статия/. Антон Живков завършва средното си образование в Руската езикова гимназия – София през 1981 г., а висше в Медицинския университет – София през 1989 г. с отличие. Същата година започва работа в МБАЛ – Видин в отделението по анестезиология, реанимация и интензивно лечение. През следващата година печели конкурс за асистент в Клиниката по остра дихателна недостатъчност и интензивно лечение на УМБАЛ „Александровска“- София и записва, а по-късно и завършва, задочно специалността „Счетоводство и контрол“ в УНСС. През периода 1998-1999 г. е заместник – директор по икономическите въпроси в Правителствена болница „Лозенец“, а от 1999 г. до 2000 г. е главен експерт и началник отдел „Текущ надзор“ в Дирекция „Здравноосигурителен надзор“ на Министерството на здравеопазването. През 2001 г. придобива квалификационната специалност „Здравен мениджмънт“ във Факултета по обществено здравеопазване на МУ- София. От 2000 г. до 2013 г. е последователно – експерт медицинско осигуряване към Българска здравноосигурителна компания „Орел Г Холдинг“, медицински директор в Национална здравноосигурителна компания „Медина“ АД – София, главен секретар и главен експерт към Изпълнителната агенция по трансплантации към МЗ, организатор медицинско осигуряване на СБАЛХ „Йоан Павел“ – София, анестезиолог – реаниматор в МБАЛ – Тутракан. От 2018 г. е Управител на „Националната специализирана болница за физикална терапия и рехабилитация“- София. През 2020 г., поради влошено здравословно състояние, се пенсионира.
Д-р Антон Живков е бил член и заместник – председател на Съвета на директорите на СБАЛАГ „Майчин дом“ – София и член и председател на Съвета на директорите на УСБАЛ по онкология – София.
Умира на 5 ноември 2023 г. в София.