Роден е на 9 януари 1937 г. във Видин. Баща му е занаятчия-железар. Има двама братя и една сестра. Учи в Началното училище „Любен Каравелов“ и завършва средното си образование във Видинската гимназия. В младежките си години се увлича в спорта и особено по футбола, където сред любимците на видинската публика дълги години са  братята му – Бочко и Нонко, но музиката се оказва по-значимата му страст. Първото си висше образование завършва в Минногеоложкия институт – София, където е сред солистите на академичния хор „Г. Димитров“ и започва работа по специалността си, но кандидатства и е приет в Българската държавна консерватория, където завършва второто си висше образование, специалност „Оперно пеене“ в класа на проф.Христо Бръмбаров. Още като студент през 1966 г. е назначен за редовен артист в Софийската народна опера. Същата година дебютира  в операта „Риголето“ от Джузепе Верди. През 1969 г. става носител на първа награда на V-то общобългарско състезание за певци и изпълнители, а на VI-я фестивал за млади оперни певци печели лауреатско звание. През 1970 г. е изпратен на специализация в гр.Палермо, Италия при големия музикален педагог Джина Чиня. Участва в Учебния театър на консерваторията, с който пътува в Холандия.

     Освен на сцената на Софийската опера, където е артист и изпълнител на ключови роли в спектаклите той гастролира в още над 80 града на 22 страни по света. Пее в Бальшой театър – Москва, Метрополитен – Ню Йорк, Миланската скала, Виенската Щаатсопера, Театро дел Лисео – Барселона, в СССР, Швейцария, Италия, Германия, Израел, Бразилия, Франция, САЩ и др.

     В репертоара му са всички големи басови партии – Мефистофел във „Фауст“ на Гуно, Фиеско в „Симоне Буканегра“ на Верди, Хан Кончак в „Княз Игор“ на Бородин, Княз Ховански и Досифей в „Хованщина“ на Мусоргски, Борис Годунов в „Борис Годунов“ от Мусоргски, Зарастро във „Вълшебната флейта“ от В. Моцарт, Крал Филип и Инквизитора в „Дон Карлос“ на Верди, Мухтар Ага в „Гергана“ на Маестро Атанасов, дядо Слав в „Хан Крум Ювиги“ на Александър Йосифов и много други. За повече от 30 години на оперната сцена е реализирал повече от 150 роли в репертоара си.

     Стефан Еленков често е гостувал във Видин с участия в концерти на Видинския симфоничен оркестър, на музикалните тържества „Дунавска пролет“ и „Празници на кантатноораториалната музика“, при откриването музикалния сезон в града, както и със солови изпълнения в културни мероприятия и юбилейни тържества.

     Носител е на най-високите държавни отличия и на множество награди от фестивали и конкурси. Носител е на званието „Народен артист“ , на „Златна лира“ на Министерството на културата и на Почетен знак на Съюза на музикалните дейци в България. През 2003 г. посмъртно му е връчено най-високото българско отличие орден „Стара планина“ за изключителния му принос за развитие на българската култура. През 1989 г. му е присъдено званието „Почетен гражданин Видин“, а в родния му град има и улица на неговото име.

     Умира на 5 октомври 1997г. в София, но по изричната му молба е погребан във Видин.