Роден е на 12 ноември 1908 г. във Видин. Висшето си образование завършва с отличие в Мюнхенската държавна академия за изящни изкуства през 1933 г. Сред преподавателите му са Карл Каспари – живопис и Адолф Шинерер – графика. Живее и работи последователно в Белгия, Германия, Франция, Португалия и Испания. През 1934 г. представя в България първата си самостоятелна изложба. През периода 1935-36 г. пътува в Турция, Гърция, Италия, Алжир, Тунис и Палестина. Нарисуваните в тези страни картини представя на мащабна  и изключително успешна изложба в Белград през 1937 г. Показва свои творби и в есенния салон на изкуствата Пти пале в Париж. За кратко живее във Венеция, но завръщайки се в България през 1938 г. е вътворен в еврейски трудов лагер, където прекарва до 1941 г. През 1946 г. експонира втората си самостоятелна изложба в България, но е заклеймен от новата власт по художествени съображения – формализъм  и през 1948 г. заминава за Милано, а по късно се мести във Венеция. През 1951 г. се установява в Буенос Айрес, Аржентина. През 1953 г. организира там и първата  си изложба. През 1956 г. участва  в 45-то издание на Националния салон на пластичните изкуства на Аржентина и печели трета награда в категорията „рисунка“, представя се и в много групови изложби.  През 1958 г. става преподавател в Държавното училище за изобразителни изкуства „Мануел Белграно“. През 1975 г. прави третата си самостоятелна изложба в София по покана на Съюза на българските художници, излагайки картини, нарисувани в Аржентина, като по-голямата част от творбите остават собственост на Националната художествена галерия..

     Направленията , в които работи и преподава са пейзаж, натюрморт и портрет.

     Картини  на Елиезер Алшех има в много от световно известните художествени галерии, както и в значителен брой частни колекции.

     Сред най-известните му картини са – „Алверс“/1934/, „Ерусалим“/1937/, „Лодки“/1937/, „Венеция“/1938/, „Пейзаж с будка за афиши“-Видин/1938/, „Буенос Айрес, площад „Сан Марино“/1938/, „Гроздобер“/1945/, „Тигре“/1945/, „Жътва“/1947/, „Калий“/1947/, „Венеция – мостът „Риалдо“/1952/, „Пристанище“/1954/, „Седнала жена“, Улиза в Букурещ“ и др.

     През 1990 г. Музеят на съвременното изкуство в Буенос Айрес организира изложба в негова памет, а през 2000 г. изложба с негови творби организира и музеят „Сивори“. През 2014 г. изложба с 20 негови картини прави и софийската галерия „Лоранъ“ под мотото „От Видин до Буенос Айрес“.

     Умира на 20 юни 1983 г. в Буенос Айрес.

     През 1995г. в България е издадена антология на художника, съставена от съпругата му художничката Бронка Гюрова – Алшех и Ружа Маринска. Тя е написана на български и испански език, а художникът е представен с двете си родини – България и Аржентина.