Роден е на 5 септември 1920 г. в с. Връв. Началното и основното си образование завършва в родното си село, а средно във Видинската гимназия, където дружи с младежи антифашисти. Откроява се сред връсниците и съселяните си с характер и талант на организатор, оратор, актьор и режисьор. Поставя в местното селско читалище пиесите „Анка“, „Лелята на студента“ и „Боряна“, в която изпълнява ролята на Златил, изнася сказки и се включва във всички местни културни инициативи. Следва две години химия в Загреб, но висшето си образование завършва в Софийския университет, същата специалност. Има специализация и по икономика. Трудовата му биография започва като учител по химия и биология  в новооткритата втора в страната селска гимназия в с. Ново село през 1945 г. и завеждащ отдел „Организационен“ на СНМ и ДСНМ-Видин. През 1949 г. е избран за секретар по пропаганда и агитация на Околийския комитет на БКП-Видин, но през 1952 г. е изключен от БКП, за слово произнесено в центъра на с. Връв през м. февруари 1943 г., в което призовава да се отдаде почит на загиналите немски войници по време на Сталинградската битка. Назначен е за директор на новооткритата консервна фабрика, която превръща в образцово за времето си предприятие. През 1954 г. е възстановен като член на партията и изтеглен на работа в Министерството на културата, а през 1959 г. е върнат във Видин и е избран за зам.председател на новоучредения Окръжен народен съвет  с ресор образование, култура, финансови и търговски  дейности. С неговото ръководство на тези сектори са свързани значими успехи във Видин и окръга –  привличането на Хачо Бояджиев /виж отделна статия/ за директор на Видинския драматичен театър и на плеядата знакови актьори – Христо Куновски, Димитър Манчев, Васил Попов, Мара Чапанова, Златка Тодорова, Адриана Андреева, Христо Курдов/виж отделни статии/ и др., началото на летните театрални празници  и фолклорните събори „От Тимок до Искър“, изграждането на летните театри и кинотеатри във Видин и Белоградчик, стимулирането на Видинския симфоничния оркестър и обогатяването на музикалния живот във Видин и окръга, основаването на Художествената галерия/ открита на 25 май 1962 г./ и закупуването на картини от колекциите на Михаил Кремен и Богомил Райнов и от най-големите български художници за нейния фонд, реставрацията на крепостта „Баба Вида“ и експонирането на музейните сбирки в Конака и Кръстата казарма, елекрификацията на „Баба Вида“, Кулската крепост, Белоградчишката крепост и пещерата „Магура“, откриването на художествената галерия в Брегово /първата селска художествена галерия в страната/, опазването и експонирането на културно историческото богатство на Видинсия край и др. В сферата  на образованието неговото име се свързва с новите училищни сгради в Балей, Връв, Брегово, Делейна, Ново село, Флорентин и др. По негово време се разгръща масовото изграждане на киносалони и оборудване с киномашини на селата и кварталните читалища, което прави Видински окръг национален първенец през 1962 г. По-късно през 1961 г. е издигнат за зам.председател на Комитета на култура. През 1970 г. е изпратен за съветник по културните въпроси в Москва, а през 1975 г. за посланник на България в Куба.

Той е първият генерален директор на Националния дворец на културата „Людмила Живкова“, където отново привлича за свой заместник Хачо Бояджиев, с ранг на заместник министър на Министерството на културата, поел поста още по време на неговото строителство /1979/ и ръководил  дейността му до смъртта си /1982/.

Ангел Будев е автор на сборника „Испански графюри за Руско-турската война/1877-1878/“/1977/, която през 1978 г. излиза и на руски език и която днес е библиографска рядкост, както и на редица статии в периодичния печат, посветени на Видин и Видинския край.

Има двама сина – Емил и Владимир.

Умира на 8 май 1982 г. в София.

През 2003 г. е учредено „Регионално сдружение за духовни изяви – Ангел Будев“ и е издаден възпоменателен сборник „По-жив от живите“ със спомени на съвременници и съратници на Ангел Будев.