Роден е на 28 юни 1936 г. в с. Арчар. През 1961 г. завършва Художествената академия, специалност „Скулптура“ при проф. Иван Фунев. Няколко години е учител по изобразително изкуство във Видинската гимназия, след което се премества в София. През 90-години на 20-ти век открива една от най-успешните частни художествени галерии в столицата.

Александър Апостолов работи в областта на портрета, фигуралната и монументално-декоративна скулптура. Творбите му са със съвременна и историко-революционна тематика и се отличават с естествената си композиция и изразително движение.

Във Видин са експонирани неговите творби – паметника на Димитър Благоев /1976/, „Лежаща фигура на гола жена“ /1966//декоративна пластика в парка/ и „Спортисти“ /1968//композиция пред спортната зала/. Паметникът „Септемврийското въстание 1923“ в родното му село Арчар също е негово дело. По-известни са скулптурите му „Етюд на стара жена в мрамор“, „Бачо Киро“- бюст от дърво във Велико Търново, „Паметник на априлското въстание“, „Георги Димитров“- паметник в Ташкент, „Глава на Н.“, „Глава на баща ми“, Глава на младеж“, „Глава на момиче“, „Работничка“, „Строител“ и др.

Творби на Александър Апостолов са във фондовете на Национална художествена галерия-София, окръжни и градски художествени галерии, както и публични пространства в много населени места в страната. Участвал е в множество изложби у нас и в Москва и Будапеща.

Александър Апостолов е носител  на държавни отличия и награди, както и на наградата „Иван Лазаров“ за монументална скулптура, връчена му през 1976 г.